E poi, la cosa che proprio non so assolutamente come approcciare è la spia della batteria che resta sempre accesa.

Ce l'hai un tester?
Stacca il cappellotto dell'alternatore, sullo statore trovi (vado a memoria) un contatto D- : controlla che ci sia continuità tra questo e il blocco motore (= che vada a massa).
Poi controlla che ci sia continuità tra DF e D-.
Se c'è passeremo al controllo del regolatore

Per ordine;
Il tester lo compro dai cinesi : RISOLTO;

Il contatto D "-" immaggino sia segnato da qualche parte li in mezzo...e con il tester devo controllare se c'è continuità tra il contatto e qualunque punto del blocco motore?

Immaggio sempre che DF sia segnato....

D- : controlla che ci sia continuità tra questo e il blocco motore (= che vada a massa).

Poi controlla che ci sia continuità tra DF e D-.

OK, dal connettore con i 3 cavi (sempre sullo statore) misura tra due di loro, provando varie combinazioni in corrente alternata (MI RACCOMANDO).
Segnati i valori con qualcuno che ti tiene il motore sui 2500 o 3000 giri.

Occhio alle mani, potrebbe uscire una tensione che si fa sentire!!!!

Se parte domani provo.
Ci sono valori particolari che mi devo attendere?

Una domanda : ma le foto che hai postato sono della tua moto o di un altra?
Perchè in quella foto vedo un captatore di un'accensione elettronica... (quel grosso disco color rame in centro)

Chiaro sei stato chiaro, ma "aggiustare" un problema del genere via internet è impresa non da poco.
Non mi è mai capitato nulla del genere quindi non posso darti indicazioni, speriamo che ci sia qualcun altro con più esperienza su queste moto così "moderne".
Posso solo dirti che quando provi un diodo con il tester non troverai mai continuità con zero resistenza perché misuri una giunzione di un diodo al silicio (o più diodi in parallelo o in ponte) e quindi sul multimetro digitale leggerai sempre dei valori di difficile interpretazione.