Problema fusibile Aprilia Amico 50 - Scooter

Beh, direi che è sicuro come l'oro che c'è un corto

Il fatto che ci sia una caduta di tensione quando inserisci il fusibile è normalissimo in tal caso.
È molto importante che tu non insista, specie montando fusibili più grossi di quello originale, se l'impianto è pensato per reggere 10 A e tu monti fusibili da 30 si squaglia l'isolamento dei cavi!
Per risolvere il problema c'è poco da fare, devi armarti di pazienza e controllare tutto l'impianto dell'avviamento elettrico.
Il fatto che il fusibile salti addirittura a quadro spento è una cosa (relativamente) positiva e in ogni caso il guasto è evidentemente sul circuito di potenza che è piuttosto breve e semplice.
Visto che il guasto si manifesta a quadro spento direi che si può escludere un corto sugli avvolgimenti del motorino di avviamento.
Io partirei controllando in ordine portafusibile, tutti i conduttori e infine teleruttore.
La conferma la puoi avere staccando la batteria, inserendo il fusibile e controllando col tester in funzione continuità tra i due conduttori di potenza (quelli di sezione maggiore) che vanno al teleruttore di avviamento... Ovviamente la continuità non ci dovrebbe essere, in questo caso ci sarà sicuramente.
La batteria c'entra davvero poco, indipendentemente dal fatto che non può creare di questi problemi si trova a monte del fusibile, e il fusibile protegge solo ciò che è a valle dello stesso.
Ripeto, hai sicuramente un corto sul circuito di potenza dell'avviamento... Se i due conduttori di potenza viaggiano raggruppati a fascio è plausibile che l'isolamento abbia ceduto e i cavi facciano contatto, in alternativa se ha ceduto l'isolamento del positivo ed il conduttore viene a contatto col telaio, ti dà questo problema.
Saluti