Tecnica
Calcolo della velocità teorica di una moto
Scritto da carbonfiberRS - Pubblicato 03/09/2009 15:59
In questo articolo calcoleremo la velocità di una moto, prima utilizzando un metodo relativamente semplice, principalmente basato sul rapporto di trasmissione e in seguito faremo un'analisi fisica più dettagliata della velocità massima raggiungibile

IMPORTANTE!
La velocità che si otterrà con questi calcoli è puramente teorica, essa è vera solo nel caso in cui i dati immessi nel calcolo sono ESATTAMENTE quelli reali.


CALCOLO DELLA VELOCITA’ TRAMITE RAPPORTO DI TRASMISSIONE

Per eseguire questa serie di calcoli matematici necessitiamo di 2 dati fondamentali:

  1. Il rapporto di trasmissione totale di una qualsiasi marcia (1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a).
  2. la circonferenza di rotolamento del pneumatico posteriore.

Il rapporto di trasmissione totale

Il rapporto totale di trasmissione è il rapporto tra frequenza di rotazione dell’albero motore e frequenza di rotazione della corona (e di conseguenza della ruota posteriore) ovvero:

R = rapporto di trasmissione totale
G1 = rotazioni dell’albero motore
G2 = rotazioni della corona
S = intervallo di tempo


R = (G1/S) : (G2/S)

Es.

R = X
G1 = 15.000
G2 = 1.500
S = 60 (sec.)

X = (15.000/60) : (1.500/60)
X = 250 : 25
X = 10 : 1

Il rapporto di trasmissione totale si rappresenta come rapporto tra numeri di cui uno di essi è l’ unità
cioè 1, nel nostro caso 10:1 (oppure 1:10) ciò vuol dire che nello stesso intervallo di tempo l’albero motore gira 10 volte più velocemente della corona, cioè compie 10 volte più rotazioni rispetto alla corona, nel caso di moto o veicoli in generale l’albero motore ruota sempre più velocemente della corona anche nell’ultima marcia dunque dobbiamo ritenere la cifra 1 sempre abbinata al regime di rotazione della corona. Naturalmente tale rapporto varia da marcia a marcia.

Solitamente il rapporto di trasmissione totale di una moto si trova sul libretto di uso e manutenzione oppure sul sito ufficiale della casa costruttrice della moto. Nel caso non si disponesse del rapporto totale di una qualsiasi marcia ma di rapporto primario cioè rapporto esistente tra le frequenze di rotazione degli ingranaggi che collegano albero motore con frizione, secondario cioè rapporto esistente tra i vari ingranaggi del cambio che varia a seconda della marcia inserita e finale cioè rapporto tra pignone e corona, si può calcolare il rapporto totale che è pari al prodotto dei 3 rapporti, in questo caso bisogna porre attenzione, io consiglio di mettere per ognuno dei 3 rapporti il valore 1 all’ingranaggio condotto, cioè l’ingranaggio che riceve il moto dall’ingranaggio conduttore.

Es.

RT = rapporto totale
R1 = rapporto primario
R2 = rapporto secondario (di una qualsiasi marcia)
R3 = rapporto finale

RT = X
R1 = 1 : 5
R2 = 1 : 2
R3 = 1 : 3

X = (1/5)*(1/2)*(1/3) = 1 : 30
Ovvero il prodotto al numeratore di 1*1*1 ossia 1 e al denominatore il prodotto di 5*2*3 ovvero 30 quindi 1:30.



La circonferenza di rotolamento pneumatico posteriore

Per questo valore non vi sono misteri, non è altro che lo spazio percorso dal veicolo ad ogni rotazione completa del pneumatico posteriore durante una marcia rettilinea, ove ad ogni rotazione completa corrisponde una percorrenza di spazio del veicolo pari alla circonferenza del pneumatico che è massima nella marcia rettilinea.

Per misurare tale valore dunque poniamo la moto perfettamente verticale, spingiamola in linea retta cercando di mantenere la moto perfettamente verticale fino a che la ruota posteriore non avrà compiuto una rotazione completa, segnando il punto di contatto con l’asfalto iniziale e finale possiamo ora misurare la distanza percorsa dal veicolo che è il valore che noi cerchiamo, dobbiamo ovviamente cercare di essere più precisi possibili nella misurazione.

Adesso su questo valore ci sono delle piccole incertezze, dovute al fatto che con il peso del pilota il pneumatico tende a schiacciarsi e quindi tendenzialmente a diminuire la circonferenza di rotolamento in marcia rispetto al valore da noi misurato, questo solo fino a una certa velocità relativamente bassa, infatti visto l’effetto centrifugo della rotazione del pneumatico lo stesso tenderà a dilatarsi e ad aumentare la circonferenza di rotolamento, quindi vi sarà inizialmente un momento in cui lo pneumatico è schiacciato, in seguito un momento in cui la sua circonferenza di rotolamento sarà pari a quella da noi misurata e in seguito aumenterà, basti considerare che oltre i 200 km/h la dilatazione di un pneumatico medio incrementa di 3-4-5 cm ca. il valore della circonferenza di rotolamento, tale valore aumenta sempre più con la velocità, quindi bisogna tenere conto di ciò, a 200 km/h per 5 cm in più di circonferenza abbiamo quasi 5 km/h in più di velocità.

Bene adesso dopo la spiegazione dei 2 valori fondamentali passiamo al calcolo

V = velocità della moto in km/h
RPM = rotazioni al minuto dell’albero motore
RT = rapporto totale di una qualsiasi marcia
C = circonferenza di rotolamento pneumatico posteriore in metri

La formula è la seguente: V = (RPM*RT*C)/16,666

Adesso passiamo ad un esempio per spiegare meglio i calcoli

V = X km/h
RPM = 15.000
RT = 1 : 8
C = 2 m

X = [15.000*(1:8)*2]/16,666
X = [3750]/16.666
X = 225 km/h


Tutto questo perché moltiplicando gli RPM del motore per il rapporto di trasmissione si ottengono gli RPM della ruota posteriore, moltiplicando tale valore per la circonferenza di rotolamento si ottiene in m/min la velocità del veicolo, e per convertire i m/min in km/h si deve dividere per 16,666 (ca.), visto che bisogna dividere per 1000 e poi moltiplicare per 60, cioè dividere per 16,666.


Il risultato che risulta da questi calcoli applicato alla vostra moto è del tutto vero SOLO ED UNICAMENTE quando i 3 valori arbitrari del calcolo cioè una frequenza, un rapporto e una lunghezza sono grandezze veritiere sulla vostra moto ed effettive nel momento in cui volete eseguire la misurazione della velocità.



ANALISI FISICA DELLA VELOCITA’ MASSIMA

L’insieme dei calcoli sopra citati era puramente matematica e si basava su un calcolo abbastanza semplice della velocità utilizzando principalmente il rapporto di trasmissione, la velocità dipendeva dal rapporto di trasmissione.

Adesso analizzeremo fisicamente parlando la velocità massima di una moto:

Una moto è ovviamente dotata di un motore che genera una forza diretta lungo la direzione dello spostamento e avente stesso verso dello spostamento, è fisicamente misurabile come una massa moltiplicata per un’accelerazione:

F = M*m/s^2

L’unità di misura nel SI della forza è il Newton indicato come la forza che su un corpo di massa 1 kg genera un’accelerazione di 1 m/s^2.

Ovviamente se sulla moto agisse solo tale forza essa accelererebbe all’infinito, visto che con una moto media di grossa cilindrata si raggiungono i 250-300 km/h di velocità massima ci si dovrebbe chiedere del perché non raggiungiamo velocità infinita. La questione è molto semplice, evidentemente ci sono delle forze che si oppongono al moto e che quindi agiscono sulla stessa retta della forza motrice ma in verso opposto, esse sono forze resistenti; sulla moto e su ogni altro veicolo che si muove su un piano orizzontale agiscono lungo la direzione dello spostamento la forza motrice del motore, la forza aerodinamica e la forza di attrito, queste ultime due sono forse resistenti.

Ci sono ovviamente anche le perdite meccaniche per attrito interne al blocco motore che sono forze resistenti, tuttavia includiamole nella forza motrice facendo diciamo “finta” di averla già sottratta alla forza motrice effettiva per semplificare i calcoli. Adesso quando la moto raggiungerà la sua velocità massima essa accelererà con accelerazione = 0 e quindi si troverà in moto rettilineo uniforme, secondo il primo principio della dinamica in questo caso la risultante delle forze dirette lungo la direzione dello spostamento è nulla, ergo la forza motrice è pari alla somma delle forze resistenti, sotto alla velocità massima la forza motrice è superiore alle forze resistenti e quindi genera un’accelerazione che incrementa la velocità sino a quella massima.

Passiamo ai calcoli.

Analizzeremo ora la forza sviluppata dal motore:

il motore genera una potenza P

P = L/t (la potenza è uguale al lavoro nell’unità di tempo)

L = F*s - il lavoro è il prodotto di una forza per uno spostamento diretto lungo la forza

Quindi abbiamo che:

P = (F*s)/t

P = (F/t)*(s/t)

P = (F/t)*V - essendo lo spostamento nell’unità di tempo la velocità

P*t = F*V

P = F*V - essendo il tempo quantificabile con 1 sec. P*1 = P (considerando V in m/s)

F = P/V

Fisicamente parlando sappiamo che questa equazione è corretta perché:

P = L/t

L = F*s

V=s/t - spostamento fratto tempo

(F*s)/t
_____ = F - s e t si semplificano e quindi abbiamo eguagliato una forza con un’altra forza

s/t

adesso mettiamo di avere una moto con 120 cv alla ruota, vogliamo vedere la forza generata a 250 km/h:

F = P/V

Per ottenere la forza in Newton devo porre la potenza in watt e la velocità in m/s:

120 cv = 120/1.36 = 88.235 watt di potenza (formula di conversione cv-watt)
250 km/h = 250/3.6 = 69.444 m/s (formula di conversione km/h-m/s)

88.235/69.444 = 1270.592 N

Sappiamo che abbiamo ottenuto la forza in N perché:

1 watt = 1 J/s ovvero (N/m)/s….dividendo ciò per m/s abbiamo N

Quindi questa è la forza sviluppata dal motore.

Adesso calcoliamo la resistenza aerodinamica:

R = (Cx*d*S*V^2)/2

R è la resistenza in Newton, Cx è un numero puro cioè non ha unità di misura ed è il coefficiente di penetrazione aerodinamica ed è diverso per ogni corpo, d è la densità dell’aria in kg/m^3, S è la sezione maestra della moto cioè la superficie piana frontale normale allo spostamento e si misura in m^2, V^2 è il quadrato della velocità in (m/s)^2.

Sappiamo che otterremo una forza in N perché:

Cx e 1/2 non ci interessano visto che sono numeri puri, allora abbiamo solo:

d*S*V^2 = kg/m^3*m^2*m^2/s^2

kg*m^2*m^2
___________ = kg*m/s^2 ovvero sia la forza in N

m^3*s^2


adesso nell’esempio di prima della moto con 120 cv ala ruota e 250 orari mettiamo di avere Cx pari a 0.2, d pari a 1.16 kg/m^3, S pari a 1.5 m^2 e V^2 pari a 4822.53 ovvero il quadrato di 69.444 m/s

R = (0,2*1,16*1,5*4822,53)/2 = 839,120 N

Adesso consideriamo infine la resistenza d’attrito volvente tra asfalto e pneumatico:

la resistenza di tale tipo è la somma delle resistenze di tutte le gomme, 2 nel caso della moto:

Fa = N*(u/r) dove N è il carico normale agente sulla superficie di contatto, u è il parametro dell’attrito volvente diverso per ogni corpo ed ha le dimensioni di una lunghezza ed r è il raggio di rotolamento. Ricordiamo che la resistenza d’attrito volvente è indipendente dalla velocità della moto.

Sappiamo che otteniamo una forza in Newton perché:

N è la forza peso agente sul corpo che si misura in N, u avendo le dimensioni di una lunghezza se lo dividiamo per il raggio che è sempre una lunghezza otteniamo un numero puro e quindi la grandezza rimane sempre il Newton
Poniamo di avere una moto da 170 kg (incluso pilota) quindi mettiamo indicativamente metà peso sull’anteriore e metà sul posteriore, cioè 85 kg, una massa di 85 kg ha una forza peso di 833,85 N, poniamo inoltre di avere 25 cm cioè 0,25 m di raggio e u = 0,035 (gomma-asfalto):

833,85*(0,035/0,25) = 116,739 N

Poniamo indicativamente la stessa forza su entrambe le ruote


Dunque la risultante delle forze che agisce sul veicolo è data da:

R = Fm - Fr - forza motrice meno forza resistente

1270,592 – 839,120 – 116,739 – 116,739 = 197,994 N quindi la risultante delle forze non è nulla e i 250 km/h non sono la velocità massima del veicolo, infatti la risultante è positiva quindi la moto può andare più veloce, se la risultante era negativa voleva dire che la velocità su cui ci basavamo era troppo alta per la moto e la velocità massima era minore.



Da questo deduciamo che la velocità massima si calcola con la seguente equazione:

P/V – (Cx*d*S*V^2) – [N*(u/r)]*2 = 0

Conoscendo tutte le incognite tranne V la si può calcolare con l’equazione sopra citata.
Svolgendo tale equazione alla fine si giunge ad una equazione di terzo grado che si risolve con calcoli abbastanza lunghi che non sto qui a mostrare visto che sono facilmente rintracciabili in rete.
 

Commenti degli Utenti (totali: 20)
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Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: edge il 03-09-2009 19:43
senti, ho dato oggi l'esame per il debito di matematica, se voglio sapere quanto va la moto becco un bel rettilineo alle due del mattino e vedo. cmnq grazie, ma davvero, quei dati nn saprei nemmeno come fare per averli, poi dovrei mettermi lì a fare calcoli.
nononononono
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: BlackIce il 03-09-2009 19:58
Madonna, devi essere parente alla lontana di Euclide ! Ma che senso ha sapere la velocità massima teorica quando poi ci sono 1000 variabili ? Piuttosto sarebbe più semplice metterla al banco e provare.
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: reg156k1 il 03-09-2009 22:18
il solo banco non basta ci devi aggiungere la galleria del vento )-:
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: carbonfiberRS il 03-09-2009 22:44
l'analisi fisica da me fatta conta tutte le variabili che influiscono sulla velocità in strada piana e in assenza vi vento, cioè tutte le forze che agiscono sulla moto e l'ho detto chiaramente
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: carbonfiberRS il 03-09-2009 22:49
in pratica quello che voglio dire è che l'ho scritto, l'analisi fisica fatta da me conta tutte le variabili che influiscono sulla velocità, lo dico adesso che il calcolo è valido in strada piana e in assenza di vento, quindi se si dispone di tutti i dati precisi la velocità calcolata è quella reale, il calcolo veramente teorico è quello dei rapporti, quello sotto con i calcoli fisici è certo e reale se si hanno i dati giusto al millesimo, ovviamente il calcolo sotto vi dirà la velocità massima raggiungibile effettivamente dalla moto(escludendo il rapporto in se di trasmissione)
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: karl92 il 04-09-2009 02:16
Ragazzi è bella la vita facile col contakilometri, però per chi ha la vera passione per queste cose è bello capire come funzionano
dietro la moto c'è anche questo, a tutti piacerebbe lavorare nel campo delle moto ma serve anche questo il che non è da tutti, la matematica e la fisica servono
Bravo Carbon! Bel lavoro anche se mi mancano un bel pò di conoscenze per seguire tutto ;)
c'è anche chi apprezza ;)
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: BlackIce il 04-09-2009 10:56
Probabilmente hai anche ragione tu, se non ci fossere persone come lui avremmo ancora la macigno-mobile :-)
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: drcrysto il 04-09-2009 10:26
mamma mia quante formule.. solo a scorrere la pagina col mouse stavo male..
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: Ospite il 04-09-2009 11:58
Impressionante... per seguire tutto questo serve una laurea in matematica.

Comunque se uno vuole sapere la reale velocità max della propria moto ha bisogno di sole tre cose:

Una pista di aeroporto;

Una giornata di sole

Un buon navigatore satellitare che, grazie all'effetto doppler, fornisce accuratamente la velocità di spostamento del mezzo.

Detto questo spero che nessuno decida di andarsene a 260 Kmh con l'occhio fisso sul TomTom
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: BlackIce il 04-09-2009 12:14
Pista aeroporto ? Basta la cara A 27 :-)
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: Ospite il 04-09-2009 13:25
Però se ti becca l'autovelox, allora conosci la tua velocità max da due fonti, il secondo della quale ti fa pagare il conto ;o)
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: io00 il 05-09-2009 00:14
ahahah bellissima carbon ;)

comunque vorrei farti un appunto anzi, due, forse tre (con tutto il rispetto s'intende...! non offenderti, anche perchè lo sanno tutti che cono un ignorantone ;) )

1-la circonferenza dello pneumatico la si può prendere in maniera moooolto più seplice (anche se, come hai perfettamente spiegato, ci sono anche altri fattori che concorrono al variarla):su ogni pneumatico c'è la sigla riguardante le dimensioni (es.:130/70 17"). 130 indica la larghezza della gomma in mm. 70 indica la distanza tra il cerchio e il punto di contatto con l'asfalto espressa in percentuale della larghezza (quindi 70% di 130mm). 17" è il diametro del cerchio (espresso, come si può ben vedere, in pollici). la circonferenza in cm sarà quindi (pi grego*d) = pi greco*((17"*2,54cm/")+2(130/10*70/100)) =192,7cm. poi si divide per 100 e si ha la circonferenza in metri.

2-questa formula ---> F = M*m/s^2 cconveniva metterla così--->(F=m*a) (N=kg*m/s^2) ;)
io alla prima lettura non riuscivo a capirla, poi, causa accensione cervello, ho capito

3-sarebbe bello che aggiungessi la formula inversa per risalire dalla velocità determinata dall'equazione P/V – (Cx*d*S*V^2) – [N*(u/r)]*2 = 0; al numero di giri motore a seconda della marcia, dato che mi pare un dato importante/interessante

ah sì....4-GRANDISSIMO!!!!! scrivi anche l'età che hai, così qualcuno ci rimane di...come dire...stucco :)
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: urano88 il 05-09-2009 00:46
Complimenti per la passione e per l'impegno, ok la parte sul calcolo della velocità dai giri del motore, ma la parte fisica era meglio se te la facevi correggere da qualcuno che se ne intenda, è una vergogna che il Tingavert pubblichi cose di questo tipo:


<i>P = (F*s)/t

P = (F/t)*(s/t)

P = (F/t)*V - essendo lo spostamento nell’unità di tempo la velocità

P*t = F*V

P = F*V - essendo il tempo quantificabile con 1 sec. P*1 = P (considerando V in m/s)</i>

Nel primo passaggio c'è un errore matematico gravissimo, roba da essere bocciati alle medie, e nell'ultimo c'è una giustificazione senza nessun significato dell'errore che si è trascinato.

<i>
120 cv = 120/1.36 = 88.235 watt di potenza (formula di conversione cv-watt)
</i>
Qui confondi i w con i kw, tutti i successivi conti sono sbagliati di un fattore 1000!!

Poi vabbe' credi davvero che il Cx di una moto sia 0.2?
E credi davvero che il termine volvente sia così influente alle velocità che stiamo trattando da rendere necessarie tutte le complicazioni di calcolo dovute all'introduzione del temine noto nella cubica? Certo, sottostimando la forza di un fattore 1000 lo diventa!!

Prova come esercizio rifare i conti correttamente e a svolgere la cubica che hai postato e poi rifarla togliendo il termine volvente e vedi un po' di quanto cambia il risultato finale...


Che strano articolo: chi non sa niente non ci capisce niente, chi sa qualcosa ci trova diversi errori!!
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: urano88 il 05-09-2009 00:56
Pardon, ho scritto una sciocchezza sulla cubica: il termine noto resta comunque dato che viene dalla potenza, è il termine di primo grado che sparisce trascurando la componente volvente, mea culpa che non l'ho messa in forma normale :P

Sta di fatto che un'equazione cubica che ha solo i termini di grado tre e zero si risolve estraendo una radice cubica, mentre per una che ha anche il termine di primo grado il procedimento è ben più complesso e richiede le formule di Cardano (anche se tutto sommato si applicano senza troppi problemi)...
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: carbonfiberRS il 09-09-2009 18:39
urano tu ne sai molte più di me ma comunque devi capire che io ho 16 anni, adesso questo ragionamento viene tutto dalla mia testa a parte alcune formule che le dovevo sapere altrimenti non avrei fatto nulla, ci ho messo 5 ore a farlo e in questi giorni sono occupato dallo studio, quando avrò tempo ci darò un'occhiata ma non ora che ho molto da fare, essendo l'articolo che ho fatto quando sono diventato mod l'ho ovviamente pubblicato senza stare ad aspettare qualcuno che me lo correggesse, comunque va be qualche errore può capitare(molti come dicevi tu) ma io mi accontento lo stesso che tanto più in la gli darò un'occhiata

p.s. i dati tipo cx sono del tutto indicativi e li ho messi solo come esempio
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: Granzmeister il 05-09-2009 08:20
Beh non puoi dire di aver tenuto conto di tutto manca anche il contributo della potenza dissipata dovuto alla deformazione degli pneumatici che a velocità sostenuta ha un valore di qualche kw. Per trovare questo contributo si può usare la Magic Formulae di Pacejka. Mettendo un grafico con potenza motore e potenza dissipata insieme sarebbe stato più comprensibile per molti. Buon lavoro comunque
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: finse il 07-09-2009 14:44
mamma mia ragazzi......

mi viene in mente lesame di analisi.....
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: mamuthones il 25-12-2009 23:54
a me invece salta agli occhi il metodo di alcuni che è il più brutto per muovere un'obiezione: la polemica....
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: Maicolino il 07-06-2010 23:42
me lo diceva la nonnina di studiare un po di più..
Re: Calcolo della velocità teorica di una moto
Commento di: JAKK33 il 08-11-2010 14:04
me lo diceva la mamma.....STUDIAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA