IMPORTANTE!
La velocità che si otterrà con questi calcoli è puramente teorica, essa è vera solo nel caso in cui i dati immessi nel calcolo sono ESATTAMENTE quelli reali.
CALCOLO DELLA VELOCITA’ TRAMITE RAPPORTO DI TRASMISSIONE
Per eseguire questa serie di calcoli matematici necessitiamo di 2 dati fondamentali:
- Il rapporto di trasmissione totale di una qualsiasi marcia (1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a).
- la circonferenza di rotolamento del pneumatico posteriore.
Il rapporto di trasmissione totale
Il rapporto totale di trasmissione è il rapporto tra frequenza di rotazione dell’albero motore e frequenza di rotazione della corona (e di conseguenza della ruota posteriore) ovvero:
R = rapporto di trasmissione totale
G1 = rotazioni dell’albero motore
G2 = rotazioni della corona
S = intervallo di tempo
R = (G1/S) : (G2/S)
Es.
R = X
G1 = 15.000
G2 = 1.500
S = 60 (sec.)
X = (15.000/60) : (1.500/60)
X = 250 : 25
X = 10 : 1
Il rapporto di trasmissione totale si rappresenta come rapporto tra numeri di cui uno di essi è l’ unità
cioè 1, nel nostro caso 10:1 (oppure 1:10) ciò vuol dire che nello stesso intervallo di tempo l’albero motore gira 10 volte più velocemente della corona, cioè compie 10 volte più rotazioni rispetto alla corona, nel caso di moto o veicoli in generale l’albero motore ruota sempre più velocemente della corona anche nell’ultima marcia dunque dobbiamo ritenere la cifra 1 sempre abbinata al regime di rotazione della corona. Naturalmente tale rapporto varia da marcia a marcia.
Solitamente il rapporto di trasmissione totale di una moto si trova sul libretto di uso e manutenzione oppure sul sito ufficiale della casa costruttrice della moto. Nel caso non si disponesse del rapporto totale di una qualsiasi marcia ma di rapporto primario cioè rapporto esistente tra le frequenze di rotazione degli ingranaggi che collegano albero motore con frizione, secondario cioè rapporto esistente tra i vari ingranaggi del cambio che varia a seconda della marcia inserita e finale cioè rapporto tra pignone e corona, si può calcolare il rapporto totale che è pari al prodotto dei 3 rapporti, in questo caso bisogna porre attenzione, io consiglio di mettere per ognuno dei 3 rapporti il valore 1 all’ingranaggio condotto, cioè l’ingranaggio che riceve il moto dall’ingranaggio conduttore.
Es.
RT = rapporto totale
R1 = rapporto primario
R2 = rapporto secondario (di una qualsiasi marcia)
R3 = rapporto finale
RT = X
R1 = 1 : 5
R2 = 1 : 2
R3 = 1 : 3
X = (1/5)*(1/2)*(1/3) = 1 : 30
Ovvero il prodotto al numeratore di 1*1*1 ossia 1 e al denominatore il prodotto di 5*2*3 ovvero 30 quindi 1:30.
La circonferenza di rotolamento pneumatico posteriore
Per questo valore non vi sono misteri, non è altro che lo spazio percorso dal veicolo ad ogni rotazione completa del pneumatico posteriore durante una marcia rettilinea, ove ad ogni rotazione completa corrisponde una percorrenza di spazio del veicolo pari alla circonferenza del pneumatico che è massima nella marcia rettilinea.
Per misurare tale valore dunque poniamo la moto perfettamente verticale, spingiamola in linea retta cercando di mantenere la moto perfettamente verticale fino a che la ruota posteriore non avrà compiuto una rotazione completa, segnando il punto di contatto con l’asfalto iniziale e finale possiamo ora misurare la distanza percorsa dal veicolo che è il valore che noi cerchiamo, dobbiamo ovviamente cercare di essere più precisi possibili nella misurazione.
Adesso su questo valore ci sono delle piccole incertezze, dovute al fatto che con il peso del pilota il pneumatico tende a schiacciarsi e quindi tendenzialmente a diminuire la circonferenza di rotolamento in marcia rispetto al valore da noi misurato, questo solo fino a una certa velocità relativamente bassa, infatti visto l’effetto centrifugo della rotazione del pneumatico lo stesso tenderà a dilatarsi e ad aumentare la circonferenza di rotolamento, quindi vi sarà inizialmente un momento in cui lo pneumatico è schiacciato, in seguito un momento in cui la sua circonferenza di rotolamento sarà pari a quella da noi misurata e in seguito aumenterà, basti considerare che oltre i 200 km/h la dilatazione di un pneumatico medio incrementa di 3-4-5 cm ca. il valore della circonferenza di rotolamento, tale valore aumenta sempre più con la velocità, quindi bisogna tenere conto di ciò, a 200 km/h per 5 cm in più di circonferenza abbiamo quasi 5 km/h in più di velocità.
Bene adesso dopo la spiegazione dei 2 valori fondamentali passiamo al calcolo
V = velocità della moto in km/h
RPM = rotazioni al minuto dell’albero motore
RT = rapporto totale di una qualsiasi marcia
C = circonferenza di rotolamento pneumatico posteriore in metri
La formula è la seguente: V = (RPM*RT*C)/16,666
Adesso passiamo ad un esempio per spiegare meglio i calcoli
V = X km/h
RPM = 15.000
RT = 1 : 8
C = 2 m
X = [15.000*(1:8)*2]/16,666
X = [3750]/16.666
X = 225 km/h
Tutto questo perché moltiplicando gli RPM del motore per il rapporto di trasmissione si ottengono gli RPM della ruota posteriore, moltiplicando tale valore per la circonferenza di rotolamento si ottiene in m/min la velocità del veicolo, e per convertire i m/min in km/h si deve dividere per 16,666 (ca.), visto che bisogna dividere per 1000 e poi moltiplicare per 60, cioè dividere per 16,666.
Il risultato che risulta da questi calcoli applicato alla vostra moto è del tutto vero SOLO ED UNICAMENTE quando i 3 valori arbitrari del calcolo cioè una frequenza, un rapporto e una lunghezza sono grandezze veritiere sulla vostra moto ed effettive nel momento in cui volete eseguire la misurazione della velocità.
ANALISI FISICA DELLA VELOCITA’ MASSIMA
L’insieme dei calcoli sopra citati era puramente matematica e si basava su un calcolo abbastanza semplice della velocità utilizzando principalmente il rapporto di trasmissione, la velocità dipendeva dal rapporto di trasmissione.
Adesso analizzeremo fisicamente parlando la velocità massima di una moto:
Una moto è ovviamente dotata di un motore che genera una forza diretta lungo la direzione dello spostamento e avente stesso verso dello spostamento, è fisicamente misurabile come una massa moltiplicata per un’accelerazione:
F = M*m/s^2
L’unità di misura nel SI della forza è il Newton indicato come la forza che su un corpo di massa 1 kg genera un’accelerazione di 1 m/s^2.
Ovviamente se sulla moto agisse solo tale forza essa accelererebbe all’infinito, visto che con una moto media di grossa cilindrata si raggiungono i 250-300 km/h di velocità massima ci si dovrebbe chiedere del perché non raggiungiamo velocità infinita. La questione è molto semplice, evidentemente ci sono delle forze che si oppongono al moto e che quindi agiscono sulla stessa retta della forza motrice ma in verso opposto, esse sono forze resistenti; sulla moto e su ogni altro veicolo che si muove su un piano orizzontale agiscono lungo la direzione dello spostamento la forza motrice del motore, la forza aerodinamica e la forza di attrito, queste ultime due sono forse resistenti.
Ci sono ovviamente anche le perdite meccaniche per attrito interne al blocco motore che sono forze resistenti, tuttavia includiamole nella forza motrice facendo diciamo “finta” di averla già sottratta alla forza motrice effettiva per semplificare i calcoli. Adesso quando la moto raggiungerà la sua velocità massima essa accelererà con accelerazione = 0 e quindi si troverà in moto rettilineo uniforme, secondo il primo principio della dinamica in questo caso la risultante delle forze dirette lungo la direzione dello spostamento è nulla, ergo la forza motrice è pari alla somma delle forze resistenti, sotto alla velocità massima la forza motrice è superiore alle forze resistenti e quindi genera un’accelerazione che incrementa la velocità sino a quella massima.
Passiamo ai calcoli.
Analizzeremo ora la forza sviluppata dal motore:
il motore genera una potenza P
P = L/t (la potenza è uguale al lavoro nell’unità di tempo)
L = F*s - il lavoro è il prodotto di una forza per uno spostamento diretto lungo la forza
Quindi abbiamo che:
P = (F*s)/t
P = (F/t)*(s/t)
P = (F/t)*V - essendo lo spostamento nell’unità di tempo la velocità
P*t = F*V
P = F*V - essendo il tempo quantificabile con 1 sec. P*1 = P (considerando V in m/s)
F = P/V
Fisicamente parlando sappiamo che questa equazione è corretta perché:
P = L/t
L = F*s
V=s/t - spostamento fratto tempo
(F*s)/t
_____ = F - s e t si semplificano e quindi abbiamo eguagliato una forza con un’altra forza
s/t
adesso mettiamo di avere una moto con 120 cv alla ruota, vogliamo vedere la forza generata a 250 km/h:
F = P/V
Per ottenere la forza in Newton devo porre la potenza in watt e la velocità in m/s:
120 cv = 120/1.36 = 88.235 watt di potenza (formula di conversione cv-watt)
250 km/h = 250/3.6 = 69.444 m/s (formula di conversione km/h-m/s)
88.235/69.444 = 1270.592 N
Sappiamo che abbiamo ottenuto la forza in N perché:
1 watt = 1 J/s ovvero (N/m)/s….dividendo ciò per m/s abbiamo N
Quindi questa è la forza sviluppata dal motore.
Adesso calcoliamo la resistenza aerodinamica:
R = (Cx*d*S*V^2)/2
R è la resistenza in Newton, Cx è un numero puro cioè non ha unità di misura ed è il coefficiente di penetrazione aerodinamica ed è diverso per ogni corpo, d è la densità dell’aria in kg/m^3, S è la sezione maestra della moto cioè la superficie piana frontale normale allo spostamento e si misura in m^2, V^2 è il quadrato della velocità in (m/s)^2.
Sappiamo che otterremo una forza in N perché:
Cx e 1/2 non ci interessano visto che sono numeri puri, allora abbiamo solo:
d*S*V^2 = kg/m^3*m^2*m^2/s^2
kg*m^2*m^2
___________ = kg*m/s^2 ovvero sia la forza in N
m^3*s^2
adesso nell’esempio di prima della moto con 120 cv ala ruota e 250 orari mettiamo di avere Cx pari a 0.2, d pari a 1.16 kg/m^3, S pari a 1.5 m^2 e V^2 pari a 4822.53 ovvero il quadrato di 69.444 m/s
R = (0,2*1,16*1,5*4822,53)/2 = 839,120 N
Adesso consideriamo infine la resistenza d’attrito volvente tra asfalto e pneumatico:
la resistenza di tale tipo è la somma delle resistenze di tutte le gomme, 2 nel caso della moto:
Fa = N*(u/r) dove N è il carico normale agente sulla superficie di contatto, u è il parametro dell’attrito volvente diverso per ogni corpo ed ha le dimensioni di una lunghezza ed r è il raggio di rotolamento. Ricordiamo che la resistenza d’attrito volvente è indipendente dalla velocità della moto.
Sappiamo che otteniamo una forza in Newton perché:
N è la forza peso agente sul corpo che si misura in N, u avendo le dimensioni di una lunghezza se lo dividiamo per il raggio che è sempre una lunghezza otteniamo un numero puro e quindi la grandezza rimane sempre il Newton
Poniamo di avere una moto da 170 kg (incluso pilota) quindi mettiamo indicativamente metà peso sull’anteriore e metà sul posteriore, cioè 85 kg, una massa di 85 kg ha una forza peso di 833,85 N, poniamo inoltre di avere 25 cm cioè 0,25 m di raggio e u = 0,035 (gomma-asfalto):
833,85*(0,035/0,25) = 116,739 N
Poniamo indicativamente la stessa forza su entrambe le ruote
Dunque la risultante delle forze che agisce sul veicolo è data da:
R = Fm - Fr - forza motrice meno forza resistente
1270,592 – 839,120 – 116,739 – 116,739 = 197,994 N quindi la risultante delle forze non è nulla e i 250 km/h non sono la velocità massima del veicolo, infatti la risultante è positiva quindi la moto può andare più veloce, se la risultante era negativa voleva dire che la velocità su cui ci basavamo era troppo alta per la moto e la velocità massima era minore.
Da questo deduciamo che la velocità massima si calcola con la seguente equazione:
P/V – (Cx*d*S*V^2) – [N*(u/r)]*2 = 0
Conoscendo tutte le incognite tranne V la si può calcolare con l’equazione sopra citata.
Svolgendo tale equazione alla fine si giunge ad una equazione di terzo grado che si risolve con calcoli abbastanza lunghi che non sto qui a mostrare visto che sono facilmente rintracciabili in rete.